Метод осевого искажения для многомерной визуализации П.А.Васев, Д.С.Перевалов 1. Введение Считается, что известные математические проблемы - гипотеза Пуанкаре о трехмерной сфере и задача о контактных числах да сих пор не решены лишь потому, что математики не обладают достаточной геометрической интуицией при работе с пространствами высших размерностей. В ряде прикладных задач также возникает проблема анализа и интерпретации многомерных структур. Поэтому требуется создание систем многомерной визуализации, которые осуществляют трансформацию многомерного объекта в визуальный образ, пригодный для восприятия. Как правило, для конкретной задачи приходится разрабатывать специальные методы отображения. Это связано с тем, что человек не привык представлять многомерные объекты целиком. В связи с этим нет особой надежды, что удастся создать метод многомерной визуализации, обладающий такой же степенью универсальности, как обычный метод представления трехмерных объектов. В работе предлагается схема построения видов отображения для представления поверхности полиэдра, обладающего осью, вдоль которой сечения полиэдра являются выпуклыми множествами. В качестве примера приводится два конкретных вида отображения. 2. Естественные и искажающие виды отображений Цель многомерной визуализации - построение трехмерного объекта или сцены, описывающей данное многомерное множество. Общеизвестными методами многомерной визуализации являются сечения, проекции, глифы, а также методы представления локальной структуры. Последние показывают строение объекта в окрестности некоторой точки, и используют то, что локально поверхность объекта есть кусок пространства меньшей размерности. После выделения куска он отображается либо одним из трех первых способов, либо привлекаются средства описания типа распределения кривизны и т.п. Локальные методы незаменимы при детальном анализе, но здесь нас интересует представление объекта целиком. При использовании метода сечений также происходит редукция размерности: в n-мерном пространстве задается способ перемещения секущей гиперплоскости, а затем создается анимационный фильм, изображающий заданные сечения объекта (например, тенью объекта). Если движение секущей гиперплоскости интерактивно, то метод исследования объекта похож на локальные методы. Этого недостаточно, если нас интересует поверхность объекта, так как тогда требуется посмотреть на объект «сбоку». Идея метода проекций состоит в «впечатывании» в непрерывно движущийся в трехмерном пространстве объем V всех сечений объекта вдоль некоторой оси w. Обычно способ впечатывания сечения зависит от его положения относительно w. Например, изменяется цвет, прозрачность или размеры выводимых объектов. Этот метод позволяет увидеть весь объект, и относительно неплохо работает с точечными множествами. Но если объект непрерывен, то возникает эффект «смазывания». Например, вращение пирамиды вокруг ее оси можно интерпретировать как 4-х мерный объект. Пусть движение объема V в методе проекции происходит вдоль оси пирамиды. В результате мы получим многогранную трубу, грани которой закручены в направлении вращения пирамиды; один конец трубы будет подобен нашей пирамиде, а другой будет плоским. Таким образом, пирамиды «размазалась», и мы не можем понять, трансформировалась ли она в середине процесса. Рассмотренные методы (локальные, сечений, проекций) неявно пытаются сохранить геометрическую структуру объекта, так как в них используются проекции сечений объекта в трехмерное пространство. Назовем такие методы естественными. Мы убеждены, что нормальный человек не может таким способом воспринимать многомерное строение объекта. Это проявляется, например, в том, что при анализе вращающегося четырехмерного куба наблюдателю неочевидна связь оси вращения куба с поведением его визуального представления. Значит, имеет смысл искать методы представления, которые описывают объект в привычных пользователю терминах. Такие методы, в которых сознательно уничтожается часть метрических свойств объекта для получения данных о его структуре, будем называть искажающими. Известным примером искажающих методов является метод глифов. К сожалению, метод глифов не предназначен для работы с непрерывными объектами. По этой причине авторами разработана схема построения искажающих методов визуализации, позволяющих изучать многомерные поверхности специального вида. 3. Метод осевого искажения 3.1 Общая схема Рассмотрим произвольный многогранник в n-мерном пространстве, у которого имеется ось w, вдоль которой сечения полиэдра являются выпуклыми множествами. Тогда каждое такое сечение Y является выпуклым многогранником в (n-1)-мерном пространстве. Пусть задан искажающий оператор Ф, сопоставляющий каждому Y некоторую плоскую фигуру. Метод осевого искажения заключается в следующем: мы располагаем такие плоские фигуры (соответствующие различным сечениям исходного полиэдра вдоль w) вдоль фиксированной главной оси в трехмерном пространстве. В результате получается трехмерная трубка, которая и есть представление полиэдра с использованием искажающего оператора Ф. Таким образом, конкретные свойства представления определяются типом искажающего оператора. Легко заметить, что идея осевого искажения есть модификация принципа проекций, с той разницей, что в нашем случае не происходит потери информации при показе сечений. Также существенно, что искажающий оператор может быть очень далек от операторов проекции. Теперь рассмотрим два конкретных метода осевого искажения. 3.2 Осевое искажение с тенью Первый метод осевого искажения, который рассчитан на случай четырехмерного пространства - это метод с использованием оператора тени. Сечению полиэдра, являющемуся трехмерным выпуклым многогранником, мы сопоставляем тень, отбрасываемую им на некоторую плоскость при заданном освещении. Известен замечательный факт: наблюдая тень вращающегося выпуклого многогранника, человек способен восстановить вид самого многогранника. Начнем теперь вращать все сечения исходного 4-полиэдра. Мы увидим трансформации трубы, полученной методом искажения с тенью. В каждый момент времени будет видна примерно половина каждого ее сечения вдоль главной оси. Пусть виртуальный наблюдатель облетает трубу вокруг главной оси. Тогда через некоторое время он воспримет динамику движения каждого сечения целиком. Значит, наблюдатель представит одновременно вид всех сечений исходного 4-множества, то есть увидит его «как на ладони»! Для представления множеств большей размерности можно использовать другие, более изощренные способы. Одним из них является гистограммный метод осевого искажения. 3.3 Осевое искажение с гистограммами Здесь мы рассматриваем полиэдр произвольной размерности; оператор искажения сопоставляет сечению полиэдра график так называемой скалярной гистограммы. Определим сначала локальную гистограмму точки q относительно полиэдра Y. Если t – вещественное число, а H(t) - мера множества тех точек границы Y, для которых значение скалярного произведения с q не превосходит t, то локальная гистограмма есть функция h(t)=H(t)'. (Заметим, что локальная гистограмма описывает расположение точки q в множестве Y.) Скалярная гистограмма множества Y - это взвешенные локальные гистограммы точек с границы Y. По построению скалярная гистограмма дает статистическую характеристику множества, инвариантную к поворотам множества относительно нуля. Поэтому мы не увидим вращения сечений многомерного объекта. Но, с другой стороны, гистограмма позволяет различать многогранники. Это полезно при изучении процесса трансформации объектов и при классификации многомерных множеств; мы используем скалярные гистограммы для изучении строения многомерных сферических кодов. 4. Заключение Методы искажения позволяют представить изучаемый объект целиком, что дает надежду извлечь «глобальную» информацию о его строении. С другой стороны, конечный результат исследования должен включать сведения об исходной геометрии объекта. Поэтому система многомерной визуализации должна включать несколько связанных видов отображения, как естественных, так и искажающих. Например, при использовании метода искажения с тенью желательно, чтобы пользователь мог выбрать интересующий его слой, и затем соответствующее сечение исходного n-множества отобразилось в естественном представлении. А при навигации в многомерном пространстве с использованием естественного представления иметь возможность указать точку и получить ее локальную гистограмму, а также поведение гистограммы при перемещениях в пространстве. 13 - 14 июня 2000 г.